Деятельность института и личный вклад А. А. Бочвара в становление и развитие отечественной атомной промышленности и науки высоко оценило Правительство. Институт был награждён высшей наградой - орденом Ленина. Многие сотрудники награждены орденами и медалями, являются лауреатами Ленинских и Государственных премий.
Андрею Анатольевичу дважды было присвоено звание Героя Социалистического Труда, он награжден четырьмя орденами Ленина, другими орденами и медалями, был лауреатом Ленинской премии и четырёх Государственных премий. Выдающийся ученый с мировым именем был скромным, интеллигентным человеком, великим тружеником и истинным патриотом своей родины.
После смерти Андрея Анатольевича решением Правительства институту было присвоено его имя, и он стал называться Всесоюзный ордена Ленина научно-исследовательский институт неорганических материалов имени академика А. А. Бочвара. Вблизи института установлен бюст и одна из улиц Москвы названа его именем.